Пререквизиты:- Уравнения математической физики - Средний
- Методы оптимизации - Средний
- Численные методы - Средний
Трудоемкость: 3 з.е.
Контактные часы: 35 ак. ч.
Часы на самостоятельную работу: 73 ак. ч.
Всего: 108 ак. ч.
Краткое описание дисциплины:Обратные задачи встречаются в различных областях науки, в частности, компьютерной томографии, оптике (восстановление изображений), обработке сигналов, электротехнике, механике, теории управления, астрономии и др. Большинство этих задач сводятся к решению интегральных уравнений, представляющих собой математическую модель при изучении различных воздействий и систем (объектов), а также их параметров.
Планируемые результаты обучения:Обратные задачи.
Интегральные уравнения Вольттеры и Фредгольма 1-го и 2-го рода.
Нелинейные системы.
Линейные системы.
Метод квадратур.
Метод последовательных приближений (простой итерации).
Регуляризирующий оператор.
Метод регуляризации Лаврентьева.
Метод регуляризации Бакушинского.
Метод регуляризации Тихонова.
Метод регуляризации сдвигом.
Алгоритм Фридмана, Ландвебера-Фридмана.
Обобщенный метод минимальных невязок (итерационный алгоритм RRGMRES).
Непараметрическая регуляризация.
Задача численного дифференцирования зашумленных функций.
Алгоритмы LMS и NLMS.
Алгоритм RLS.
Алгоритм RANSAC.
Фильтр Калмана.
Краткое содержание дисциплины:1. Методы численного решения уравнений Вольтерры и Фредгольма 1-го и 2-го рода
1.1. Определение и примеры обратных задач. Понятие корректно и некорректно поставленных задач.
1.2. Интегральные уравнения Вольтерры и Фредгольма 1-го и 2-го рода, уравнение свертки. Линейные и нелинейные системы.
1.3. Метод квадратур.
1.4. Метод последовательных приближений (простой итерации).
1.5. Дифференцирование уравнений.
1.6. Сведение уравнений.
1.7. Решение уравнений с вырожденными ядрами.
2. Методы регуляризации
2.1. Регуляризирующий оператор.
2.2. Метод регуляризации Лаврентьева.
2.3. Метод регуляризации Бакушинского.
2.4. Метод регуляризации Тихонова.
2.5. Выбор параметра регуляризации. Метод невязки.
2.6. Метод регуляризации Тихонова применительно к уравнениям типа свертки.
2.7. Квазиоптимальные методы для выбора параметра регуляризации в методах Тихонова и Лаврентьева.
2.8. lp регуляризация. Понятие регуляризирующего итерационного алгоритма.
2.9. Алгоритм Фридмана, Ландвебера-Фридмана.
2.10. Критерии останова
2.11. Обобщенный метод минимальных невязок (итерационный алгоритм RRGMRES).
2.12. Метод регуляризации сдвигом.
2.13. Непараметрическая регуляризация.
2.14. Решение СЛАУ с плохообусловленными матрицами.
3. Методы решения некоторых практических задач
3.1. Применение преобразований Фурье (косинус, синус), Хартли, Меллина, Лапласа, z-преобразование.
3.2. Преобразование Гильберта как обратная задача.
3.3. Задача численного дифференцирования зашумленных функций
3.4. Устойчивое суммирование рядов с приближенными коэффициентами.
3.5. Задачи адаптивной фильтрации. Особенности выбора параметра регуляризации.
3.6. Алгоритмы LMS и NLMS
3.7. Алгоритм RLS
3.8. Алгоритм RANSAC
3.9. Некоторые робастные методы устойчивого оценивания.
3.10. Фильтр Калмана
3.11. Применение некоторых методов для решения нелинейных уравнений.
3.12. Методы статистической регуляризации.
3.13. Обратные задачи при обработке изображений.
Текущий контроль: Дифференцированный зачет.
Семестр: Осенний