Пререквизиты:- Уравнения математической физики - Средний.
- Методы оптимизации - Средний.
- Численные методы - Средний.
Трудоемкость: 3 з.е.
Контактные часы: 35 ак. ч.
Часы на самостоятельную работу: 73 ак. ч.
Всего: 108 ак. ч.
Краткое описание дисциплины:Обратные задачи встречаются в различных областях науки, в частности, компьютерной томографии, оптике (восстановление изображений), обработке сигналов, электротехнике, механике, теории управления, астрономии и др. Большинство этих задач сводятся к решению интегральных уравнений, представляющих собой математическую модель при изучении различных воздействий и систем (объектов), а также их параметров.
Планируемые результаты обучения:- Обратные задачи.
- Интегральные уравнения Вольттеры и Фредгольма 1-го и 2-го рода.
- Нелинейные системы.
- Линейные системы.
- Метод квадратур.
- Метод последовательных приближений (простой итерации).
- Регуляризирующий оператор.
- Метод регуляризации Лаврентьева.
- Метод регуляризации Бакушинского.
- Метод регуляризации Тихонова.
- Метод регуляризации сдвигом.
- Алгоритм Фридмана, Ландвебера-Фридмана.
- Обобщенный метод минимальных невязок (итерационный алгоритм RRGMRES).
- Непараметрическая регуляризация.
- Задача численного дифференцирования зашумленных функций.
- Алгоритмы LMS и NLMS.
- Алгоритм RLS.
- Алгоритм RANSAC.
- Фильтр Калмана.
Краткое содержание дисциплины:1. Методы численного решения уравнений Вольтерры и Фредгольма 1-го и 2-го рода.
- Определение и примеры обратных задач. Понятие корректно и некорректно поставленных задач.
- Интегральные уравнения Вольтерры и Фредгольма 1-го и 2-го рода, уравнение свертки. Линейные и нелинейные системы.
- Метод квадратур.
- Метод последовательных приближений (простой итерации).
- Дифференцирование уравнений.
- Сведение уравнений.
- Решение уравнений с вырожденными ядрами.
2. Методы регуляризации.
- Регуляризирующий оператор.
- Метод регуляризации Лаврентьева.
- Метод регуляризации Бакушинского.
- Метод регуляризации Тихонова.
- Выбор параметра регуляризации. Метод невязки.
- Метод регуляризации Тихонова применительно к уравнениям типа свертки.
- Квазиоптимальные методы для выбора параметра регуляризации в методах Тихонова и Лаврентьева.
- lp регуляризация. Понятие регуляризирующего итерационного алгоритма.
- Алгоритм Фридмана, Ландвебера-Фридмана.
- Критерии останова.
- Обобщенный метод минимальных невязок (итерационный алгоритм RRGMRES).
- Метод регуляризации сдвигом.
- Непараметрическая регуляризация.
- Решение СЛАУ с плохообусловленными матрицами.
3. Методы решения некоторых практических задач.
- Применение преобразований Фурье (косинус, синус), Хартли, Меллина, Лапласа, z-преобразование.
- Преобразование Гильберта как обратная задача.
- Задача численного дифференцирования зашумленных функций.
- Устойчивое суммирование рядов с приближенными коэффициентами.
- Задачи адаптивной фильтрации. Особенности выбора параметра регуляризации.
- Алгоритмы LMS и NLMS.
- Алгоритм RLS.
- Алгоритм RANSAC.
- Некоторые робастные методы устойчивого оценивания.
- Фильтр Калмана.
- Применение некоторых методов для решения нелинейных уравнений.
- Методы статистической регуляризации.
- Обратные задачи при обработке изображений.
Текущий контроль: Дифференцированный зачет.
Преподаватель:—
Семестр: Осенний 2024/2025 учебного года.